Die Sierpinskifamilie

Durch Abänderung des Bauplans für das Sierpinskidreieck entstehen Figuren, die mit dem Sierpinskidreieck verwandt sind und die Sierpinskifamilie bilden.


Bauplan für das Sierpinskidreieck:
Man nehme ein Dreieck und fertige 3 mit dem Faktor 0.5 verkleinerte Kopien. Diese werden wie im Bild gezeigt, zu einer neuen Figur zusammengesetzt. Es entsteht eine Figur der Stufe 1. Wird derselbe Prozess auf dieses Bild angewandt, ensteht ein Bild der Stufe 2 usw.

Startfigur Stufe 1 Stufe 2 Stufe 5



Bauplan für die Verwandtschaft:
Wird die Figur nicht nur verkleinert, sondern ein Kongruenzabbildung angewandt (Drehung, Spiegelung), entsteht eine dem Sierpinskidreieck verwandte Figur.

Im folgenden Beispiel wird die erste Kopie (Spitze) um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht, die zweite (links unten) um 90 Grad mit dem Uhrzeigersinn, die dritte an einer vertikalen Achse gespiegelt.


Startfigur Stufe 1 Stufe 2 Stufe 5



Mit dem Programm Sierpinski.exe können solche Bilder erzeugt werden. Als Startfigur kann ein Dreieck, Quadrat oder L benutzt werden. Beim L ist die Art der Kongruenzabbildung immer zu erkennen. Deshalb wird die Art der Abbildung auf dem Auswahlknopf entsprechend symbolisiert.

Wird das erste Bild nicht zentriert, sondern an den linken Rand gesetzt, enstehen reizvolle Bildvarianten.



Quelle: Peitgen: Bausteine des Chaos - Fraktale, Klett-Cotta-Verlag